เน้นค่าที่เหมือนกัน

อัลฟ่าย่อมาจากจำนวนจริง เครื่องหมายเท่ากับในนิพจน์ข้างต้นบ่งบอกว่าหากคุณเพิ่มตัวเลขหรืออนันต์เข้ากับอนันต์ จะไม่มีอะไรเปลี่ยนแปลง ผลลัพธ์ก็จะอนันต์เหมือนเดิม หากเราใช้เซตอนันต์ของจำนวนธรรมชาติเป็นตัวอย่าง ตัวอย่างที่พิจารณาสามารถแสดงได้ดังนี้:

เพื่อพิสูจน์อย่างชัดเจนว่าถูกต้อง นักคณิตศาสตร์จึงคิดค้นวิธีการต่างๆ มากมาย โดยส่วนตัวแล้วฉันมองว่าวิธีการทั้งหมดนี้เป็นเหมือนหมอผีเต้นรำกับแทมบูรีน โดยพื้นฐานแล้ว พวกเขาทั้งหมดเดือดลงไปที่ความจริงที่ว่าห้องบางห้องว่างและมีแขกใหม่เข้ามา หรือผู้เยี่ยมชมบางคนถูกโยนออกไปที่ทางเดินเพื่อให้มีที่ว่างสำหรับแขก (เหมือนมนุษย์มาก) ฉันนำเสนอมุมมองของฉันเกี่ยวกับการตัดสินใจดังกล่าวในรูปแบบของเรื่องราวแฟนตาซีเกี่ยวกับสาวผมบลอนด์ เหตุผลของฉันมีพื้นฐานมาจากอะไร? การย้ายผู้เยี่ยมชมเป็นจำนวนไม่สิ้นสุดต้องใช้เวลาไม่สิ้นสุด หลังจากที่เราออกจากห้องแรกสำหรับแขกแล้ว ผู้มาเยี่ยมคนหนึ่งจะเดินไปตามทางเดินจากห้องของเขาไปยังห้องถัดไปจนกว่าจะหมดเวลา แน่นอนว่าปัจจัยด้านเวลาสามารถถูกมองข้ามอย่างโง่เขลาได้ แต่จะอยู่ในหมวดหมู่ของ "ไม่มีกฎหมายเขียนไว้สำหรับคนโง่" ทุกอย่างขึ้นอยู่กับสิ่งที่เรากำลังทำ: ปรับความเป็นจริงให้เป็นทฤษฎีทางคณิตศาสตร์หรือในทางกลับกัน

“โรงแรมที่ไม่มีที่สิ้นสุด” คืออะไร? โรงแรมที่ไม่มีที่สิ้นสุดคือโรงแรมที่มีเตียงว่างจำนวนเท่าใดก็ได้เสมอ ไม่ว่าจะมีคนอยู่กี่ห้องก็ตาม หากทุกห้องในทางเดิน "ผู้เยี่ยมชม" ที่ไม่มีที่สิ้นสุดถูกครอบครอง ก็จะมีทางเดินที่ไม่มีที่สิ้นสุดอีกห้องที่มีห้อง "แขก" จะมีทางเดินดังกล่าวจำนวนอนันต์ นอกจากนี้ “โรงแรมที่ไม่มีที่สิ้นสุด” ยังมีจำนวนชั้นที่ไม่มีที่สิ้นสุดในอาคารจำนวนที่ไม่มีที่สิ้นสุดบนดาวเคราะห์จำนวนไม่สิ้นสุดในจักรวาลจำนวนอนันต์ที่สร้างขึ้นโดยเทพเจ้าจำนวนอนันต์ นักคณิตศาสตร์ไม่สามารถหลีกหนีจากปัญหาซ้ำซากในชีวิตประจำวันได้: พระเจ้า - อัลลอฮ์ - พุทธะมีเพียงองค์เดียวเสมอมีโรงแรมเพียงแห่งเดียวมีทางเดินเพียงแห่งเดียว นักคณิตศาสตร์จึงพยายามสลับเลขลำดับของห้องพักในโรงแรม ทำให้เราเชื่อว่ามีความเป็นไปได้ที่จะ "ยัดเยียดสิ่งที่เป็นไปไม่ได้"

ฉันจะแสดงตรรกะของการใช้เหตุผลให้คุณดูโดยใช้ตัวอย่างเซตของจำนวนธรรมชาติที่ไม่มีที่สิ้นสุด ก่อนอื่นคุณต้องตอบคำถามง่ายๆ: มีจำนวนธรรมชาติกี่ชุด - หนึ่งหรือหลายชุด? ไม่มีคำตอบที่ถูกต้องสำหรับคำถามนี้ เนื่องจากเราประดิษฐ์ตัวเลขขึ้นมาเอง ตัวเลขไม่มีอยู่ในธรรมชาติ ใช่ ธรรมชาติเก่งเรื่องการนับ แต่ด้วยเหตุนี้ เธอจึงใช้เครื่องมือทางคณิตศาสตร์อื่นๆ ที่เราไม่คุ้นเคย ฉันจะบอกคุณว่าธรรมชาติคิดอย่างไรอีกครั้ง เนื่องจากเราประดิษฐ์ตัวเลขขึ้นมา เราก็จะเป็นผู้ตัดสินใจว่าจำนวนธรรมชาติมีกี่ชุด ลองพิจารณาทั้งสองตัวเลือกตามความเหมาะสมกับนักวิทยาศาสตร์ที่แท้จริง

ตัวเลือกที่หนึ่ง “ให้เราได้รับ” ตัวเลขธรรมชาติชุดเดียวซึ่งวางอยู่อย่างสงบบนชั้นวาง เรานำชุดนี้มาจากชั้นวาง เพียงเท่านี้ ไม่มีตัวเลขธรรมชาติอื่นเหลืออยู่บนชั้นวางแล้วและไม่มีที่ไหนที่จะหยิบมันไปได้ เราไม่สามารถเพิ่มหนึ่งรายการในชุดนี้ได้ เนื่องจากเรามีอยู่แล้ว จะทำอย่างไรถ้าคุณต้องการจริงๆ? ไม่มีปัญหา. เราสามารถเอาอันหนึ่งจากชุดที่เราถ่ายไปแล้วและส่งคืนไปที่ชั้นวาง หลังจากนั้นเราก็สามารถนำอันหนึ่งจากชั้นวางมาเพิ่มเข้ากับสิ่งที่เราเหลือ ผลก็คือ เราจะได้เซตของจำนวนธรรมชาติที่ไม่มีที่สิ้นสุดอีกครั้ง คุณสามารถเขียนกิจวัตรทั้งหมดของเราดังนี้:

ฉันเขียนการกระทำในรูปแบบพีชคณิตและสัญลักษณ์ทฤษฎีเซต พร้อมรายการองค์ประกอบของเซตโดยละเอียด ตัวห้อยระบุว่าเรามีจำนวนธรรมชาติชุดเดียวเท่านั้น ปรากฎว่าเซตของจำนวนธรรมชาติจะยังคงไม่เปลี่ยนแปลงก็ต่อเมื่อมีการลบออกและเพิ่มหน่วยเดียวกัน

ตัวเลือกที่สอง เรามีชุดจำนวนธรรมชาติอนันต์หลายชุดบนชั้นวางของเรา ฉันเน้นย้ำ - แตกต่างแม้ว่าจะแยกไม่ออกในทางปฏิบัติก็ตาม ลองเอาหนึ่งในชุดเหล่านี้ จากนั้นเราก็นำจำนวนหนึ่งจากชุดของจำนวนธรรมชาติอีกชุดหนึ่งมาบวกเข้ากับชุดที่เราได้มาแล้ว เรายังบวกจำนวนธรรมชาติสองชุดได้ด้วย นี่คือสิ่งที่เราได้รับ:

ตัวห้อย "หนึ่ง" และ "สอง" ระบุว่าองค์ประกอบเหล่านี้เป็นของชุดที่ต่างกัน ใช่ หากคุณเพิ่มหนึ่งเข้าไปในเซตอนันต์ ผลลัพธ์จะเป็นเซตอนันต์ด้วย แต่จะไม่เหมือนกับเซตเดิม หากคุณเพิ่มเซตอนันต์อีกเซตให้กับเซตอนันต์หนึ่งเซต ผลลัพธ์จะเป็นเซตอนันต์ใหม่ที่ประกอบด้วยสมาชิกของสองเซตแรก

เซตของจำนวนธรรมชาติใช้สำหรับการนับแบบเดียวกับไม้บรรทัดสำหรับการวัด ทีนี้ลองนึกภาพว่าคุณบวกหนึ่งเซนติเมตรเข้ากับไม้บรรทัด นี่จะเป็นเส้นอื่นไม่เท่ากับเส้นเดิม

คุณสามารถยอมรับหรือไม่ยอมรับเหตุผลของฉันได้ - มันเป็นธุรกิจของคุณเอง แต่ถ้าคุณเคยประสบปัญหาทางคณิตศาสตร์ ลองคิดดูว่าคุณกำลังเดินตามแนวทางการใช้เหตุผลผิดๆ ที่นักคณิตศาสตร์รุ่นต่อรุ่นเหยียบย่ำอยู่หรือไม่ ท้ายที่สุดแล้ว การศึกษาคณิตศาสตร์ ประการแรก ก่อให้เกิดทัศนคติแบบเหมารวมของการคิดที่มั่นคงในตัวเรา จากนั้นจึงเพิ่มความสามารถทางจิตของเรา (หรือในทางกลับกัน กีดกันเราจากการคิดอย่างอิสระ)

วันอาทิตย์ที่ 4 สิงหาคม 2019

ฉันกำลังเขียนบทความเกี่ยวกับบทความเกี่ยวกับเรื่องนี้อยู่และเห็นข้อความที่ยอดเยี่ยมนี้ใน Wikipedia:

เราอ่านว่า: "... พื้นฐานทางทฤษฎีอันเข้มข้นของคณิตศาสตร์แห่งบาบิโลนนั้นไม่มีคุณลักษณะแบบองค์รวมและถูกลดทอนลงเหลือเพียงชุดเทคนิคที่แตกต่างกัน ปราศจากระบบและฐานหลักฐานที่เหมือนกัน"

ว้าว! เราฉลาดแค่ไหนและมองเห็นข้อบกพร่องของผู้อื่นได้ดีเพียงใด เป็นเรื่องยากสำหรับเราที่จะมองคณิตศาสตร์สมัยใหม่ในบริบทเดียวกันหรือไม่? จากการถอดความข้อความข้างต้นเล็กน้อย ฉันได้รับสิ่งต่อไปนี้เป็นการส่วนตัว:

พื้นฐานทางทฤษฎีอันเข้มข้นของคณิตศาสตร์สมัยใหม่นั้นไม่ได้มีลักษณะเป็นองค์รวมและถูกลดทอนลงเหลือเพียงส่วนต่างๆ ที่แตกต่างกัน ปราศจากระบบและฐานหลักฐานที่เหมือนกัน

ฉันจะไม่ไปไกลเพื่อยืนยันคำพูดของฉัน - เขามีลิ้นและ สัญลักษณ์แตกต่างจากภาษาและแบบแผนของคณิตศาสตร์สาขาอื่นๆ มากมาย ชื่อเดียวกันในสาขาวิชาคณิตศาสตร์ที่แตกต่างกันสามารถมีความหมายต่างกันได้ ฉันต้องการอุทิศสิ่งพิมพ์ทั้งชุดให้กับข้อผิดพลาดที่ชัดเจนที่สุดของคณิตศาสตร์สมัยใหม่ แล้วพบกันใหม่เร็วๆ นี้

วันเสาร์ที่ 3 สิงหาคม 2019

จะแบ่งเซตออกเป็นเซตย่อยได้อย่างไร? ในการดำเนินการนี้ คุณจะต้องป้อนหน่วยการวัดใหม่ที่มีอยู่ในองค์ประกอบบางส่วนของชุดที่เลือก ลองดูตัวอย่าง

ขอให้เรามีมากมาย กประกอบด้วยสี่คน ชุดนี้ถูกสร้างขึ้นบนพื้นฐานของ "คน" ให้เราแสดงองค์ประกอบของชุดนี้ด้วยตัวอักษร กตัวห้อยที่มีตัวเลขจะระบุหมายเลขซีเรียลของแต่ละคนในชุดนี้ ขอแนะนำหน่วยวัด "เพศ" ใหม่และเขียนแทนด้วยตัวอักษร ข- เนื่องจากลักษณะทางเพศมีอยู่ในทุกคน เราจึงเพิ่มแต่ละองค์ประกอบของชุด กขึ้นอยู่กับเพศ ข- โปรดสังเกตว่าตอนนี้กลุ่ม "คน" ของเรากลายเป็นกลุ่ม "คนที่มีลักษณะทางเพศ" แล้ว หลังจากนี้เราสามารถแบ่งลักษณะทางเพศออกเป็นเพศชายได้ บีเอ็มและของผู้หญิง bwลักษณะทางเพศ ตอนนี้เราสามารถใช้ตัวกรองทางคณิตศาสตร์ได้: เราเลือกลักษณะทางเพศอย่างใดอย่างหนึ่งเหล่านี้ ไม่ว่าจะเป็นชายหรือหญิงก็ตาม ถ้าคนมี เราก็คูณมันด้วย 1 หากไม่มีเครื่องหมาย เราก็คูณมันด้วยศูนย์ แล้วเราก็ใช้คณิตศาสตร์ของโรงเรียนปกติ ดูสิ่งที่เกิดขึ้น

หลังจากการคูณ การลดลง และการจัดเรียงใหม่ เราก็ได้เซตย่อยสองชุด: เซตย่อยของผู้ชาย บีมและกลุ่มย่อยของผู้หญิง บว- นักคณิตศาสตร์ให้เหตุผลในลักษณะเดียวกันโดยประมาณเมื่อพวกเขาใช้ทฤษฎีเซตในทางปฏิบัติ แต่พวกเขาไม่ได้บอกรายละเอียดให้เราทราบ แต่ให้ผลลัพธ์ที่ครบถ้วนแก่เรา - “ผู้คนจำนวนมากประกอบด้วยกลุ่มย่อยของผู้ชายและส่วนหนึ่งของผู้หญิง” โดยปกติแล้ว คุณอาจมีคำถาม: คณิตศาสตร์ถูกนำไปใช้ในการแปลงที่อธิบายไว้ข้างต้นอย่างถูกต้องเพียงใด ฉันกล้ารับรองกับคุณว่าโดยพื้นฐานแล้วทุกอย่างถูกต้องแล้ว การรู้พื้นฐานทางคณิตศาสตร์ของเลขคณิต พีชคณิตแบบบูลีน และสาขาอื่นๆ ของคณิตศาสตร์ก็เพียงพอแล้ว มันคืออะไร? ฉันจะบอกคุณเกี่ยวกับเรื่องนี้อีกครั้ง

สำหรับซูเปอร์เซ็ต คุณสามารถรวมสองชุดให้เป็นซูเปอร์เซ็ตเดียวได้โดยการเลือกหน่วยการวัดที่มีอยู่ในองค์ประกอบของทั้งสองชุดนี้

ดังที่คุณเห็น หน่วยการวัดและคณิตศาสตร์ทั่วไปทำให้ทฤษฎีเซตกลายเป็นมรดกตกทอดจากอดีต สัญญาณที่บ่งบอกว่าทุกอย่างไม่เป็นไปตามทฤษฎีเซตก็คือนักคณิตศาสตร์มีภาษาและสัญลักษณ์ของตนเองขึ้นมาสำหรับทฤษฎีเซต นักคณิตศาสตร์ก็ทำตัวเหมือนหมอผีที่ครั้งหนึ่งเคยทำ มีเพียงหมอผีเท่านั้นที่รู้วิธีใช้ “ความรู้” ของตน “อย่างถูกต้อง” พวกเขาสอนเรา "ความรู้" นี้

โดยสรุป ฉันต้องการแสดงให้คุณเห็นว่านักคณิตศาสตร์จัดการกับ .

วันจันทร์ที่ 7 มกราคม 2019

ในศตวรรษที่ห้าก่อนคริสต์ศักราช นักปรัชญาชาวกรีกโบราณ Zeno of Elea ได้คิดค้น aporia ที่มีชื่อเสียงของเขาขึ้นมา ซึ่งที่มีชื่อเสียงที่สุดก็คือ aporia "Achilles and the Tortoise" นี่คือสิ่งที่ดูเหมือน:

สมมติว่าจุดอ่อนวิ่งเร็วกว่าเต่าสิบเท่าและตามหลังเต่าไปหนึ่งพันก้าว ในช่วงเวลาที่จุดอ่อนต้องใช้เพื่อวิ่งระยะนี้ เต่าจะคลานไปร้อยขั้นในทิศทางเดียวกัน เมื่ออคิลลีสวิ่งร้อยก้าว เต่าจะคลานไปอีกสิบก้าว ไปเรื่อยๆ กระบวนการนี้จะดำเนินต่อไปอย่างไม่มีที่สิ้นสุด อคิลลีสจะตามเต่าไม่ทัน

เหตุผลนี้สร้างความตกใจให้กับคนรุ่นต่อๆ ไป Aristotle, Diogenes, Kant, Hegel, Hilbert... พวกเขาทั้งหมดถือว่า aporia ของ Zeno ไม่ทางใดก็ทางหนึ่ง ช็อกหนักมากจน” ... การอภิปรายยังคงดำเนินต่อไปจนถึงทุกวันนี้ ชุมชนวิทยาศาสตร์ยังไม่สามารถมีความเห็นร่วมกันเกี่ยวกับสาระสำคัญของความขัดแย้งได้ ... การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ ทฤษฎีเซต วิธีทางกายภาพและปรัชญาใหม่ ๆ มีส่วนร่วมในการศึกษาปัญหานี้ ; ไม่มีวิธีใดที่กลายเป็นวิธีแก้ปัญหาที่เป็นที่ยอมรับโดยทั่วไป..."[วิกิพีเดีย "Aporia ของ Zeno" ทุกคนเข้าใจว่าพวกเขากำลังถูกหลอก แต่ไม่มีใครเข้าใจว่าการหลอกลวงประกอบด้วยอะไร

จากมุมมองทางคณิตศาสตร์ ฉีโนใน Aporia ของเขาแสดงให้เห็นอย่างชัดเจนถึงการเปลี่ยนจากปริมาณเป็น การเปลี่ยนแปลงนี้แสดงถึงการใช้งานแทนที่จะเป็นแบบถาวร เท่าที่ฉันเข้าใจ เครื่องมือทางคณิตศาสตร์สำหรับการใช้หน่วยการวัดแบบแปรผันยังไม่ได้รับการพัฒนา หรือไม่ได้นำไปใช้กับ Aporia ของ Zeno การใช้ตรรกะตามปกติของเราจะนำเราเข้าสู่กับดัก เนื่องจากความเฉื่อยของการคิด เราใช้หน่วยเวลาคงที่กับค่าส่วนกลับ จากมุมมองทางกายภาพ ดูเหมือนว่าเวลาจะเดินช้าลงจนกระทั่งหยุดสนิทในขณะที่ Achilles ตามทันเต่า หากเวลาหยุดลง Achilles จะไม่สามารถวิ่งเร็วกว่าเต่าได้อีกต่อไป

ถ้าเราเปลี่ยนตรรกะตามปกติ ทุกอย่างก็เข้าที่ Achilles วิ่งด้วยความเร็วคงที่ แต่ละส่วนต่อมาของเส้นทางของเขาจะสั้นกว่าส่วนก่อนหน้าสิบเท่า ดังนั้นเวลาที่ใช้ในการเอาชนะจึงน้อยกว่าครั้งก่อนถึงสิบเท่า หากเราใช้แนวคิดเรื่อง "อนันต์" ในสถานการณ์นี้ ก็คงจะถูกต้องที่จะพูดว่า "อคิลลีสจะไล่ตามเต่าอย่างรวดเร็วอย่างไม่สิ้นสุด"

จะหลีกเลี่ยงกับดักเชิงตรรกะนี้ได้อย่างไร? คงอยู่ในหน่วยเวลาคงที่และอย่าเปลี่ยนไปใช้หน่วยต่างตอบแทน ในภาษาของ Zeno มีลักษณะดังนี้:

ในเวลาที่อคิลลิสต้องวิ่งพันก้าว เต่าจะคลานไปในทิศทางเดียวกันนับร้อยขั้น ในช่วงเวลาถัดไปเท่ากับช่วงแรก อคิลลีสจะวิ่งอีกพันก้าว และเต่าจะคลานไปหนึ่งร้อยก้าว ตอนนี้อคิลลิสนำหน้าเต่าไปแปดร้อยก้าว

แนวทางนี้อธิบายความเป็นจริงได้อย่างเพียงพอโดยไม่มีความขัดแย้งทางตรรกะใดๆ แต่นี่ไม่ใช่วิธีแก้ปัญหาที่สมบูรณ์ คำกล่าวของไอน์สไตน์เกี่ยวกับความเร็วแสงที่ไม่อาจต้านทานได้นั้นคล้ายคลึงกับเรื่อง "Achilles and the Tortoise" ของ Zeno มาก เรายังต้องศึกษา คิดใหม่ และแก้ไขปัญหานี้ และต้องค้นหาวิธีแก้ปัญหาไม่ใช่ในจำนวนมากไม่สิ้นสุด แต่ต้องค้นหาในหน่วยการวัด

Aporia ที่น่าสนใจอีกประการหนึ่งของ Zeno เล่าเกี่ยวกับลูกศรบิน:

ลูกธนูที่บินอยู่นั้นไม่เคลื่อนที่ เนื่องจากมันจะอยู่นิ่งทุกช่วงเวลา และเนื่องจากมันอยู่นิ่งทุกช่วงเวลา มันจึงอยู่นิ่งอยู่เสมอ

ใน aporia นี้ ความขัดแย้งเชิงตรรกะจะเอาชนะได้ง่ายมาก - ก็เพียงพอที่จะชี้แจงว่าในแต่ละช่วงเวลาลูกศรที่บินอยู่จะหยุดนิ่ง ณ จุดต่าง ๆ ในอวกาศ ซึ่งในความเป็นจริงคือการเคลื่อนไหว อีกประเด็นหนึ่งที่ต้องสังเกตที่นี่ จากรูปถ่ายของรถยนต์คันหนึ่งบนท้องถนนไม่สามารถระบุความจริงของการเคลื่อนไหวหรือระยะทางได้ ในการพิจารณาว่ารถยนต์กำลังเคลื่อนที่อยู่หรือไม่ คุณต้องถ่ายรูปสองภาพที่ถ่ายจากจุดเดียวกันและเวลาที่ต่างกัน แต่คุณไม่สามารถระบุระยะห่างจากรถเหล่านั้นได้ ในการกำหนดระยะทางถึงรถ คุณต้องถ่ายรูปสองรูป จุดที่แตกต่างกันพื้นที่ ณ เวลาหนึ่ง แต่มันเป็นไปไม่ได้ที่จะระบุข้อเท็จจริงของการเคลื่อนไหวจากพวกเขา (โดยธรรมชาติแล้วยังจำเป็นต้องมีข้อมูลเพิ่มเติมสำหรับการคำนวณตรีโกณมิติจะช่วยคุณ) สิ่งที่ฉันต้องการให้ความสนใจเป็นพิเศษคือ จุดสองจุดในเวลาและสองจุดในอวกาศเป็นสิ่งที่ต่างกันซึ่งไม่ควรสับสน เพราะมันให้โอกาสในการวิจัยที่แตกต่างกัน

วันพุธที่ 4 กรกฎาคม 2018

ฉันได้บอกคุณไปแล้วว่าด้วยความช่วยเหลือจากหมอผีที่พยายามจัดเรียง "" ความเป็นจริง พวกเขาทำเช่นนี้ได้อย่างไร? การก่อตัวของเซตเกิดขึ้นจริงได้อย่างไร?

เรามาดูคำจำกัดความของเซตกันดีกว่า: "กลุ่มขององค์ประกอบต่างๆ ที่รวมกันเป็นหนึ่งเดียว" ตอนนี้รู้สึกถึงความแตกต่างระหว่างสองวลี: “เป็นไปได้โดยรวม” และ “เป็นไปได้โดยรวม” วลีแรกคือผลลัพธ์สุดท้ายคือเซต ระยะที่ 2 คือการเตรียมการเบื้องต้นเพื่อจัดตั้งมวลชน ในขั้นตอนนี้ ความจริงถูกแบ่งออกเป็นองค์ประกอบแต่ละส่วน ("ทั้งหมด") ซึ่งจากนั้นจะก่อให้เกิดฝูงชนจำนวนมาก ("ทั้งหมดเดียว") ในเวลาเดียวกันปัจจัยที่ทำให้สามารถรวม "ทั้งหมด" ให้เป็น "ทั้งหมดเดียว" จะได้รับการตรวจสอบอย่างรอบคอบ มิฉะนั้นหมอผีจะไม่ประสบความสำเร็จ ท้ายที่สุดแล้วหมอผีรู้ล่วงหน้าว่าพวกเขาต้องการแสดงฉากแบบไหนให้เราดู

ฉันจะแสดงกระบวนการพร้อมตัวอย่างให้คุณดู เราเลือก "ของแข็งสีแดงในสิว" - นี่คือ "ทั้งหมด" ของเรา ในขณะเดียวกัน เราก็เห็นว่าสิ่งเหล่านี้มีธนูและไม่มีธนู หลังจากนั้นเราเลือกส่วนหนึ่งของ "ทั้งหมด" และสร้างชุด "พร้อมธนู" นี่คือวิธีที่หมอผีได้รับอาหารโดยผูกทฤษฎีเซตไว้กับความเป็นจริง

ตอนนี้เรามาทำเคล็ดลับเล็กน้อย เรามาลอง "แข็งด้วยสิวด้วยธนู" แล้วรวม "ทั้งก้อน" เหล่านี้ตามสี โดยเลือกองค์ประกอบสีแดง เรามี "สีแดง" มากมาย มาถึงคำถามสุดท้าย: ชุดผลลัพธ์ "มีธนู" และ "สีแดง" เป็นชุดเดียวกันหรือสองชุดที่แตกต่างกันหรือไม่? หมอผีเท่านั้นที่รู้คำตอบ แม่นยำยิ่งขึ้นพวกเขาเองไม่รู้อะไรเลย แต่อย่างที่พวกเขาพูดมันก็เป็นเช่นนั้น

ตัวอย่างง่ายๆ นี้แสดงให้เห็นว่าทฤษฎีเซตไม่มีประโยชน์เลยเมื่อพูดถึงความเป็นจริง ความลับคืออะไร? เราสร้างชุด "ของแข็งสีแดงมีสิวและธนู" การก่อตัวเกิดขึ้นในหน่วยการวัดที่แตกต่างกันสี่หน่วย: สี (สีแดง) ความแข็งแกร่ง (ของแข็ง) ความหยาบ (สิว) การตกแต่ง (ด้วยธนู) มีเพียงชุดหน่วยวัดเท่านั้นที่ช่วยให้เราอธิบายวัตถุจริงในภาษาคณิตศาสตร์ได้อย่างเพียงพอ- นี่คือสิ่งที่ดูเหมือน

ตัวอักษร "a" ที่มีดัชนีต่างกันหมายถึงหน่วยการวัดที่แตกต่างกัน หน่วยการวัดที่แยกแยะ "ทั้งหมด" ในขั้นตอนเบื้องต้นจะถูกเน้นในวงเล็บ หน่วยวัดที่ใช้สร้างเซตจะถูกนำออกจากวงเล็บ บรรทัดสุดท้ายแสดงผลสุดท้าย - องค์ประกอบของชุด อย่างที่คุณเห็น หากเราใช้หน่วยการวัดเพื่อสร้างเซต ผลลัพธ์ที่ได้จะไม่ขึ้นอยู่กับลำดับการกระทำของเรา และนี่คือคณิตศาสตร์ ไม่ใช่การเต้นรำของหมอผีกับแทมบูรีน หมอผีสามารถ "บรรลุผลแบบเดียวกันโดยสัญชาตญาณ" โดยโต้แย้งว่า "ชัดเจน" เพราะหน่วยการวัดไม่ได้เป็นส่วนหนึ่งของคลังแสง "ทางวิทยาศาสตร์" ของพวกเขา

การใช้หน่วยวัดทำให้เป็นเรื่องง่ายมากที่จะแยกหนึ่งชุดหรือรวมหลายชุดเป็นซูเปอร์เซ็ตเดียว มาดูพีชคณิตของกระบวนการนี้กันดีกว่า

วันเสาร์ที่ 30 มิถุนายน 2018

หากนักคณิตศาสตร์ไม่สามารถลดแนวความคิดไปสู่แนวคิดอื่นได้ พวกเขาก็ไม่เข้าใจอะไรเกี่ยวกับคณิตศาสตร์เลย ฉันตอบ: องค์ประกอบของชุดหนึ่งแตกต่างจากองค์ประกอบของชุดอื่นอย่างไร คำตอบนั้นง่ายมาก: ตัวเลขและหน่วยการวัด

ทุกวันนี้ ทุกสิ่งที่เราไม่ได้ใช้เป็นของบางเซต (ตามที่นักคณิตศาสตร์รับรองเรา) คุณเห็นรายการชุดที่คุณเป็นเจ้าของในกระจกบนหน้าผากของคุณหรือไม่? และฉันไม่ได้เห็นรายการดังกล่าว ฉันจะพูดมากกว่านี้ - ในความเป็นจริงไม่ใช่สิ่งเดียวที่มีแท็กพร้อมรายการชุดที่เป็นของสิ่งนี้ ฉากทั้งหมดล้วนเป็นสิ่งประดิษฐ์ของหมอผี พวกเขาทำมันได้อย่างไร? เรามาดูประวัติศาสตร์ให้ลึกลงไปอีกหน่อยแล้วดูว่าองค์ประกอบของฉากนี้เป็นอย่างไร ก่อนที่หมอผีนักคณิตศาสตร์จะพาพวกมันเข้าไปในฉากของพวกเขา

นานมาแล้ว เมื่อไม่มีใครเคยได้ยินเกี่ยวกับคณิตศาสตร์ และมีเพียงต้นไม้และดาวเสาร์เท่านั้นที่มีวงแหวน ฝูงองค์ประกอบป่าจำนวนมหาศาลที่ตระเวนไปทั่วสนามฟิสิกส์ (ท้ายที่สุดแล้ว หมอผียังไม่ได้คิดค้นสนามคณิตศาสตร์เลย) พวกเขามีลักษณะเช่นนี้

ใช่ ไม่ต้องแปลกใจเลย จากมุมมองของคณิตศาสตร์ องค์ประกอบทั้งหมดของเซตจะคล้ายกันมากที่สุด เม่นทะเล- จากจุดหนึ่ง เช่น เข็ม หน่วยวัดจะยื่นออกมาทุกทิศทาง สำหรับผู้ที่ ฉันขอเตือนคุณว่าหน่วยการวัดใดๆ สามารถแสดงเป็นรูปทรงเรขาคณิตเป็นส่วนที่มีความยาวใดก็ได้ และแสดงตัวเลขเป็นจุดได้ ในเชิงเรขาคณิต ปริมาณใดๆ สามารถแสดงเป็นกลุ่มของส่วนต่างๆ ที่ยื่นออกมาในทิศทางที่ต่างกันจากจุดหนึ่งได้ จุดนี้คือจุดศูนย์ ฉันจะไม่วาดภาพศิลปะเรขาคณิตชิ้นนี้ (ไม่มีแรงบันดาลใจ) แต่คุณสามารถจินตนาการได้อย่างง่ายดาย

หน่วยวัดใดที่ประกอบเป็นองค์ประกอบของเซต? สิ่งต่าง ๆ มากมายที่อธิบายองค์ประกอบที่กำหนดจากมุมมองที่ต่างกัน เหล่านี้เป็นหน่วยวัดโบราณที่บรรพบุรุษของเราใช้และทุกคนลืมไปนานแล้ว นี่คือหน่วยวัดสมัยใหม่ที่เราใช้อยู่ตอนนี้ สิ่งเหล่านี้เป็นหน่วยวัดที่เราไม่รู้จัก ซึ่งลูกหลานของเราจะเกิดขึ้นและจะใช้อธิบายความเป็นจริง

เราได้แยกแยะเรขาคณิตออกแล้ว - แบบจำลองที่นำเสนอขององค์ประกอบของชุดนั้นมีการแสดงทางเรขาคณิตที่ชัดเจน แล้วฟิสิกส์ล่ะ? หน่วยวัดคือการเชื่อมโยงโดยตรงระหว่างคณิตศาสตร์และฟิสิกส์ หากหมอผีไม่ยอมรับหน่วยการวัดว่าเป็นองค์ประกอบที่ครบถ้วนของทฤษฎีทางคณิตศาสตร์ นี่ก็เป็นปัญหาของพวกเขา โดยส่วนตัวแล้วฉันไม่สามารถจินตนาการถึงวิทยาศาสตร์ที่แท้จริงของคณิตศาสตร์ได้หากไม่มีหน่วยการวัด นั่นคือเหตุผลว่าทำไมในตอนเริ่มต้นของเรื่องราวเกี่ยวกับทฤษฎีเซต ฉันจึงพูดถึงทฤษฎีนี้ว่าอยู่ในยุคหิน

แต่มาดูสิ่งที่น่าสนใจที่สุดกันดีกว่า - พีชคณิตขององค์ประกอบของเซต ในทางพีชคณิต องค์ประกอบใดๆ ของเซตจะเป็นผลคูณ (ผลคูณ) ของปริมาณที่ต่างกัน มีลักษณะดังนี้

ฉันจงใจไม่ใช้แบบแผนของทฤษฎีเซต เนื่องจากเรากำลังพิจารณาองค์ประกอบของเซตในสภาพแวดล้อมทางธรรมชาติของมัน ก่อนที่จะมีทฤษฎีเซตเกิดขึ้น ตัวอักษรแต่ละคู่ในวงเล็บแสดงถึงปริมาณที่แยกจากกัน ซึ่งประกอบด้วยตัวเลขที่ระบุด้วยตัวอักษร " n" และหน่วยวัดที่ระบุด้วยตัวอักษร " ก" ดัชนีถัดจากตัวอักษรระบุว่าตัวเลขและหน่วยวัดแตกต่างกัน องค์ประกอบหนึ่งของชุดสามารถประกอบด้วยจำนวนอนันต์ (เท่าที่เราและลูกหลานของเรามีจินตนาการเพียงพอ) แต่ละวงเล็บจะแสดงเป็นรูปทรงเรขาคณิต เป็นส่วนแยกต่างหาก ในตัวอย่างที่มีเม่นทะเล วงเล็บหนึ่งอันคือหนึ่งเข็ม

หมอผีสร้างเซตจากองค์ประกอบที่แตกต่างกันได้อย่างไร ในความเป็นจริงตามหน่วยวัดหรือตามตัวเลข เนื่องจากไม่เข้าใจอะไรเกี่ยวกับคณิตศาสตร์ พวกเขาจึงนำเม่นทะเลหลายๆ ชนิดมาตรวจสอบอย่างละเอียดเพื่อค้นหาเข็มอันเดียวที่ใช้ประกอบเป็นชุด หากมีเข็มเช่นนี้แสดงว่าองค์ประกอบนี้เป็นของชุดหากไม่มีเข็มดังกล่าวแสดงว่าองค์ประกอบนี้ไม่ได้มาจากชุดนี้ หมอผีเล่านิทานเกี่ยวกับกระบวนการคิดและภาพรวมให้เราฟัง

ดังที่คุณอาจเดาได้ องค์ประกอบเดียวกันสามารถอยู่ในเซตที่ต่างกันมากได้ ต่อไป ฉันจะแสดงให้คุณเห็นว่าเซต เซ็ตย่อย และเรื่องไร้สาระแบบชามานิกอื่นๆ เกิดขึ้นได้อย่างไร ดังที่คุณเห็นว่า “ในเซตหนึ่งจะมีองค์ประกอบที่เหมือนกันไม่ได้” แต่หากมีองค์ประกอบที่เหมือนกันในชุดหนึ่ง เซตดังกล่าวจะเรียกว่า “มัลติเซต” สิ่งมีชีวิตที่มีเหตุผลจะไม่มีวันเข้าใจตรรกะที่ไร้สาระเช่นนี้ นี่คือระดับของนกแก้วพูดได้และลิงฝึกหัดที่ไม่มีสติปัญญาจากคำว่า "สมบูรณ์" นักคณิตศาสตร์ทำหน้าที่เป็นผู้ฝึกสอนธรรมดาๆ โดยสั่งสอนแนวคิดที่ไร้สาระของพวกเขาให้เราฟัง

กาลครั้งหนึ่ง วิศวกรผู้สร้างสะพานอยู่ในเรือใต้สะพานขณะทดสอบสะพาน หากสะพานพัง วิศวกรธรรมดาๆ ก็เสียชีวิตภายใต้ซากปรักหักพังที่เขาสร้างขึ้น หากสะพานสามารถรับน้ำหนักได้ วิศวกรผู้มีความสามารถก็สร้างสะพานอื่นขึ้นมา

ไม่ว่านักคณิตศาสตร์จะซ่อนอยู่เบื้องหลังวลีที่ว่า "โปรดบอกฉันหน่อย ฉันอยู่ในบ้าน" หรือ "คณิตศาสตร์ศึกษาแนวคิดเชิงนามธรรม" อย่างไร มีสายสะดือเส้นหนึ่งที่เชื่อมโยงพวกเขากับความเป็นจริงอย่างแยกไม่ออก สายสะดือนี้คือเงิน ขอให้เราใช้ทฤษฎีเซตทางคณิตศาสตร์กับนักคณิตศาสตร์เอง

เราเรียนคณิตศาสตร์ดีมาก และตอนนี้เรากำลังนั่งอยู่ที่เครื่องคิดเงิน แจกเงินเดือน นักคณิตศาสตร์มาหาเราเพื่อเงินของเขา เรานับจำนวนเงินทั้งหมดให้เขาและวางลงบนโต๊ะของเราเป็นกองต่างๆ โดยเราใส่ธนบัตรที่มีสกุลเงินเดียวกัน จากนั้นเราจะหยิบบิลหนึ่งใบจากแต่ละกอง และมอบ "ชุดเงินเดือนทางคณิตศาสตร์" ให้กับนักคณิตศาสตร์ ให้เราอธิบายให้นักคณิตศาสตร์ฟังว่าเขาจะได้รับบิลที่เหลือก็ต่อเมื่อเขาพิสูจน์ว่าเซตที่ไม่มีสมาชิกเหมือนกันจะไม่เท่ากับเซตที่มีสมาชิกเหมือนกัน นี่คือจุดเริ่มต้นของความสนุก

ก่อนอื่น ตรรกะของเจ้าหน้าที่จะได้ผล: “สิ่งนี้ใช้ได้กับผู้อื่น แต่ไม่ใช่กับฉัน!” จากนั้นพวกเขาจะเริ่มทำให้เรามั่นใจว่าตั๋วเงินประเภทเดียวกันมีหมายเลขบิลต่างกัน ซึ่งหมายความว่าไม่สามารถพิจารณาว่าเป็นองค์ประกอบเดียวกันได้ เอาล่ะ เรามานับเงินเดือนเป็นเหรียญกันดีกว่า - ไม่มีตัวเลขบนเหรียญ ที่นี่นักคณิตศาสตร์จะเริ่มจดจำฟิสิกส์อย่างบ้าคลั่ง เหรียญแต่ละเหรียญมีจำนวนดินต่างกัน โครงสร้างผลึกและการจัดเรียงอะตอมไม่ซ้ำกันในแต่ละเหรียญ...

และตอนนี้ฉันมีมากที่สุด คำถามที่น่าสนใจ: เส้นตรงที่องค์ประกอบของ multiset กลายเป็นองค์ประกอบของ set และในทางกลับกันอยู่ที่ไหน? ไม่มีบรรทัดดังกล่าว - ทุกอย่างถูกตัดสินโดยหมอผีวิทยาศาสตร์ไม่ได้ใกล้เคียงกับการโกหกที่นี่ด้วยซ้ำ

ดูที่นี่ เราคัดเลือกสนามฟุตบอลที่มีพื้นที่สนามเดียวกัน พื้นที่ในทุ่งเหมือนกัน - ซึ่งหมายความว่าเรามีชุดหลายชุด แต่ถ้าเราดูชื่อสนามเดียวกันนี้ เราจะได้หลายชื่อ เพราะชื่อต่างกัน อย่างที่คุณเห็น ชุดองค์ประกอบเดียวกันนั้นเป็นทั้งเซตและมัลติเซต ข้อไหนถูกต้อง? และที่นี่นักคณิตศาสตร์ - หมอผี - นักแม่นปืนดึงเอซออกมาจากแขนเสื้อของเขาและเริ่มบอกเราเกี่ยวกับชุดหรือชุดหลายชุด ไม่ว่าในกรณีใดเขาจะโน้มน้าวเราว่าเขาพูดถูก

เพื่อทำความเข้าใจว่าหมอผียุคใหม่ดำเนินการอย่างไรกับทฤษฎีเซตโดยเชื่อมโยงกับความเป็นจริงก็เพียงพอที่จะตอบคำถามหนึ่งข้อ: องค์ประกอบของชุดหนึ่งแตกต่างจากองค์ประกอบของชุดอื่นอย่างไร ฉันจะแสดงให้คุณเห็น โดยไม่มี "สิ่งที่เป็นไปได้ว่าไม่ใช่ทั้งหมดเดียว" หรือ "ไม่สามารถเป็นไปได้ในภาพรวมเดียว"

ตารางสูตรคูณหรือตารางพีทาโกรัสเป็นโครงสร้างทางคณิตศาสตร์ที่รู้จักกันดีซึ่งช่วยให้เด็กนักเรียนเรียนรู้การคูณและแก้ตัวอย่างเฉพาะเจาะจงได้

ด้านล่างคุณจะเห็นมันในรูปแบบคลาสสิก ให้ความสนใจกับตัวเลขตั้งแต่ 1 ถึง 20 ที่ตั้งชื่อบรรทัดทางด้านซ้ายและคอลัมน์ที่ด้านบน สิ่งเหล่านี้คือตัวคูณ

วิธีการใช้ตารางพีทาโกรัส?

1. ดังนั้นในคอลัมน์แรกเราจะพบจำนวนที่ต้องคูณ จากนั้นในบรรทัดบนสุด เรามองหาตัวเลขที่ใช้คูณจำนวนแรก ตอนนี้เรามาดูกันว่าแถวและคอลัมน์ที่เราต้องการตัดกันอยู่ที่ไหน ตัวเลขที่จุดตัดนี้เป็นผลคูณของปัจจัยเหล่านี้ กล่าวอีกนัยหนึ่ง มันเป็นผลมาจากการคูณ

อย่างที่คุณเห็นทุกอย่างค่อนข้างง่าย คุณสามารถดูตารางนี้บนเว็บไซต์ของเราได้ตลอดเวลา และหากจำเป็น คุณสามารถบันทึกลงในคอมพิวเตอร์ของคุณเป็นรูปภาพเพื่อให้คุณสามารถเข้าถึงได้โดยไม่ต้องเชื่อมต่ออินเทอร์เน็ต

2. และโปรดทราบอีกครั้งว่าด้านล่างมีตารางเดียวกัน แต่อยู่ในรูปแบบที่คุ้นเคยมากกว่า - ในรูปแบบ ตัวอย่างทางคณิตศาสตร์- หลายๆ คนจะพบว่าแบบฟอร์มนี้ใช้งานง่ายและสะดวกยิ่งขึ้น นอกจากนี้ยังสามารถดาวน์โหลดลงสื่อใดก็ได้ในรูปแบบรูปภาพที่สะดวก

และสุดท้าย คุณสามารถใช้เครื่องคิดเลขของเราซึ่งแสดงอยู่ในหน้านี้ที่ด้านล่างสุดได้ เพียงป้อนตัวเลขที่คุณต้องการสำหรับการคูณลงในเซลล์ว่าง คลิกที่ปุ่มคำนวณ จากนั้นหมายเลขใหม่จะปรากฏขึ้นทันทีในหน้าต่างผลลัพธ์ ซึ่งจะเป็นผลิตภัณฑ์ของพวกเขา

เราหวังว่าส่วนนี้จะเป็นประโยชน์กับคุณและของเรา โต๊ะพีทาโกรัสในรูปแบบใดรูปแบบหนึ่งมันจะช่วยคุณมากกว่าหนึ่งครั้งในการแก้ตัวอย่างด้วยการคูณและเพื่อการจำหัวข้อนี้

ตารางพีทาโกรัสตั้งแต่ 1 ถึง 20

ตารางสูตรคูณในรูปแบบมาตรฐานตั้งแต่ 1 ถึง 10

ตารางสูตรคูณในรูปแบบมาตรฐานตั้งแต่ 10 ถึง 20

พวกเราใส่จิตวิญญาณของเราเข้าไปในไซต์ ขอบคุณสำหรับสิ่งนั้น
ว่าคุณกำลังค้นพบความงามนี้ ขอบคุณสำหรับแรงบันดาลใจและความขนลุก
เข้าร่วมกับเราบน เฟสบุ๊คและ VKontakte

ตารางสูตรคูณเป็นแนวคิดพื้นฐานทางคณิตศาสตร์ที่เราคุ้นเคยกันดี โรงเรียนประถมศึกษาและที่เราใช้นั้นตลอดชีวิตของเราโดยไม่คำนึงถึงอาชีพ แต่เด็ก ๆ ก็ไม่รีบร้อนที่จะจดจำคอลัมน์ที่ไม่มีที่สิ้นสุดโดยเฉพาะอย่างยิ่งหากงานนั้นเกิดขึ้นในช่วงวันหยุด

เว็บไซต์จะให้คำแนะนำในการเรียนรู้โต๊ะกับลูกๆ ของคุณอย่างง่ายดาย และทำให้กระบวนการนี้สนุก

โต๊ะพีทาโกรัส

แม้ว่างานคือการเรียนรู้นั่นคือท่องจำตาราง แต่ก่อนอื่นสิ่งสำคัญคือต้องเข้าใจแก่นแท้ของการกระทำนั้นเอง เมื่อต้องการทำเช่นนี้ คุณสามารถแทนที่การคูณด้วยการบวก โดยจะมีการบวกจำนวนที่เหมือนกันหลายครั้งตามที่เราคูณด้วย เช่น 6x8 หมายถึงบวก 8 คูณ 6

เน้นค่าที่เหมือนกัน

ตัวช่วยที่ยอดเยี่ยมสำหรับการเรียนรู้การคูณคือตารางพีทาโกรัสซึ่งแสดงรูปแบบบางอย่างด้วย ยกตัวอย่างเรื่องอะไร. เมื่อปัจจัยเปลี่ยน ผลคูณไม่เปลี่ยนแปลง: 4×6 = 6×4ทำเครื่องหมายคำตอบ "กระจก" ดังกล่าวด้วยสีใดสีหนึ่งซึ่งจะช่วยให้คุณจดจำและไม่สับสนเมื่อพูดซ้ำ

เป็นการดีกว่าที่จะเริ่มศึกษาตารางพีทาโกรัสด้วยส่วนที่ง่ายและเข้าใจได้มากที่สุด: คูณด้วย 1, 2, 5 และ 10เมื่อคูณด้วย 1 ตัวเลขจะไม่เปลี่ยนแปลง แต่การคูณด้วย 2 จะให้ค่าเป็นสองเท่า ทุกคำตอบของการคูณด้วย 5 จะลงท้ายด้วย 0 หรือ 5 แต่เมื่อคูณด้วย 10 ในคำตอบ เราจะได้ตัวเลขสองหลักจากตัวเลขที่คูณกับศูนย์

ตารางที่จะรวมผลลัพธ์

ในการรวบรวมผลลัพธ์ ให้วาดตารางพีทาโกรัสว่างๆ กับลูกของคุณ และเชิญให้เขากรอกคำตอบที่ถูกต้องลงในกล่อง ในการทำเช่นนี้คุณเพียงใช้กระดาษแผ่นเดียวดินสอและไม้บรรทัด คุณต้องวาดรูปสี่เหลี่ยมแล้วแบ่งออกเป็น 10 ส่วนในแนวตั้งและแนวนอน จากนั้นกรอกตัวเลขตั้งแต่ 1 ถึง 9 ในบรรทัดบนและคอลัมน์ซ้ายสุดโดยข้ามเซลล์แรก

แน่นอนว่าเด็กทุกคนมีความเป็นปัจเจกบุคคลและไม่มีสูตรอาหารสากล ภารกิจหลักของผู้ปกครองคือการหาแนวทางและช่วยเหลือลูกของเขา เพราะครั้งหนึ่งเราทุกคนเริ่มต้นด้วยขั้นตอนที่เรียบง่ายและซับซ้อนพร้อมๆ กัน

ด้วยเกมฟรีที่ดีที่สุด คุณจะเรียนรู้ได้เร็วมาก ตรวจสอบด้วยตัวคุณเอง!

เรียนรู้ตารางสูตรคูณ - เกม

ลองเกมอิเล็กทรอนิกส์เพื่อการศึกษาของเรา ใช้แล้วคุณจะสามารถตัดสินใจได้ในวันพรุ่งนี้ ปัญหาทางคณิตศาสตร์ในชั้นเรียนที่กระดานดำโดยไม่มีคำตอบ โดยไม่ต้องใช้แท็บเล็ตเพื่อคูณตัวเลข คุณเพียงแค่ต้องเริ่มเล่นและภายใน 40 นาที คุณจะได้ผลลัพธ์ที่ยอดเยี่ยม และเพื่อรวมผลลัพธ์ให้ฝึกหลาย ๆ ครั้งโดยไม่ลืมเรื่องการพัก ตามหลักการแล้วทุกวัน (บันทึกหน้าไว้เพื่อไม่ให้สูญเสีย) ฟอร์มเกมเครื่องออกกำลังกายเหมาะสำหรับทั้งเด็กชายและเด็กหญิง

ดูแผ่นโกงด้านล่าง แบบฟอร์มเต็ม.

การคูณโดยตรงบนเว็บไซต์ (ออนไลน์)

วิธีคูณตัวเลขในคอลัมน์ (วิดีโอคณิตศาสตร์)

หากต้องการฝึกฝนและเรียนรู้อย่างรวดเร็ว คุณสามารถลองคูณตัวเลขตามคอลัมน์ได้ด้วย