Даны вершины треугольника найти высоту. Даны координаты вершин треугольника авс
Пример решения некоторых заданий из типовой работы «Аналитическая геометрия на плоскости»
Даны вершины
,
,
треугольника АВС. Найти:
Уравнения всех сторон треугольника;
Систему линейных неравенств, определяющих треугольник АВС ;
Уравнения высоты, медианы и биссектрисы треугольника, проведенных из вершины А ;
Точку пересечения высот треугольника;
Точку пересечения медиан треугольника;
Длину высоты, опущенной на сторону АВ ;
Угол А ;
Сделать чертеж.
Пусть вершины треугольника имеют координаты: А (1; 4), В (5; 3), С (3; 6). Сразу нарисуем чертеж:
1. Чтобы выписать уравнения всех сторон треугольника, воспользуемся уравнением прямой, проходящей через две заданные точки с координатами (x 0 , y 0 ) и (x 1 , y 1 ):
=
Таким образом, подставляя вместо (x 0 , y 0 ) координаты точки А , а вместо (x 1 , y 1 ) координаты точки В , мы получим уравнение прямой АВ :
Полученное уравнение будет уравнением прямой АВ , записанным в общей форме. Аналогично находим уравнение прямой АС :
И так же уравнение прямой ВС :
2. Заметим, что множество точек треугольника АВС представляет собой пересечение трех полуплоскостей, причем каждую полуплоскость можно задать с помощью линейного неравенства. Если мы возьмем уравнение любой из сторон ∆АВС , например АВ , тогда неравенства
и
задают точки, лежащие по разные стороны от прямой АВ . Нам нужно выбрать ту полуплоскость, где лежит точка С. Подставим ее координаты в оба неравенства:
Правильным будет второе неравенство, значит, нужные точки определяются неравенством
.
Аналогично поступаем
с прямой ВС, ее уравнение
.
В качестве пробной используем точку А
(1, 1):
значит, нужное неравенство имеет вид:
.
Если проверим прямую АС (пробная точка В), то получим:
значит, нужное неравенство будет иметь вид
Окончательно получаем систему неравенств:
Знаки «≤», «≥» означают, что точки, лежащие на сторонах треугольника, тоже включены во множество точек, составляющих треугольник АВС .
3. а) Для того, чтобы
найти уравнение высоты, опущенной из
вершины А
на
сторону ВС
,
рассмотрим уравнение стороны ВС
:
.
Вектор с координатами
перпендикулярен сторонеВС
и, значит, параллелен высоте. Запишем
уравнение прямой, проходящей через
точку А
параллельно вектору
:
Это уравнение высоты, опущенной из т. А на сторону ВС .
б) Найдем координаты
середины стороны ВС
по формулам:
Здесь
– это координаты т.В
,
а
– координаты т.С
.
Подставим и получим:
Прямая, проходящая через эту точку и точку А является искомой медианой:
в) Уравнение
биссектрисы мы будем искать, исходя из
того, что в равнобедренном треугольнике
высота, медиана и биссектриса, опущенные
из одной вершины на основание треугольника,
равны. Найдем два вектора
и
и их длины:
Тогда вектор
имеет такое же направление, что и вектор
,
а его длина
Точно так же единичный вектор
совпадает по направлению с вектором
Сумма векторов
есть вектор, который совпадает по направлению с биссектрисой угла А . Таким образом, уравнение искомой биссектрисы можно записать виде:
4) Уравнение одной
из высот мы уже построили. Построим
уравнение еще одной высоты, например,
из вершины В
.
Сторона АС
задается уравнением
Значит, вектор
перпендикуляренАС
,
и, тем самым, параллелен искомой высоте.
Тогда уравнение прямой, проходящей
через вершину В
в направлении вектора
(т. е. перпендикулярноАС
),
имеет вид:
Известно, что высоты треугольника пересекаются в одной точке. В частности, эта точка является пересечением найденных высот, т.е. решением системы уравнений:
- координаты этой
точки.
5. Середина АВ
имеет координаты
.
Запишем уравнение медианы к сторонеАВ.
Эта
прямая проходит через точки с координатами
(3, 2) и (3, 6), значит, ее уравнение имеет
вид:
Заметим, что ноль в знаменателе дроби в записи уравнения прямой означает, что эта прямая проходит параллельно оси ординат.
Чтобы найти точку пересечения медиан достаточно решить систему уравнений:
Точка пересечения
медиан треугольника имеет координаты
.
6. Длина высоты,
опущенной на сторону АВ,
равна расстоянию от точки С
до прямой АВ
с уравнением
и находится по формуле:
7. Косинус угла А можно найти по формуле косинуса угла между векторами и, который равен отношению скалярного произведения этих векторов к произведению их длин:
.
«Алгоритмические конструкции» - Сложный алгоритм. Алгоритм решения задачи. Графического способ представления алгоритмов. Оклейка обоями. Алгоритмические конструкции. Блок-схема. Алгоритм. Способы представления алгоритмов. Цикл. Представление алгоритмов в виде описания последовательности действий. Блок-схема алгоритма «Оклейка обоями». Набор типовых структур. Блок-схемы базовых структур. Формы представления алгоритмов. Способ представления алгоритмов в виде графа.
«Основные типы алгоритмических структур» - Ветвление. Правописание приставок. Основные типы агроритмических структур. Алгоритм. Задание начальных параметров. Рецепт приготовления чая. Структура. Блочные символы. Записать в словесной форме алгоритмы. Цикл. Циклы. Задачи на закрепление знаний. Разветвляющийся алгоритм. Базовая структура. Конец алгоритма. Цикл с постусловием. Основные типы алгоритмических структур. Работа в группах. Цикл с условием.
«Основные алгоритмические структуры» - Понятность и выполнимость. Примеры известных вам алгоритмов. Алгоритм может быть представлен разными способами. Как выполняются команды в линейном алгоритме. Ветвление. Результативность и дискретность. Свойства алгоритма. Результативность. Условие. Детерминированность. Основные элементы блок-схем. Понятие об информации. Разделение алгоритма на последовательность шагов. Линейный алгоритм. Циклические алгоритмические конструкции.
«Виды алгоритмов» - Запись алгоритмов. Войди в сад. Представление об алгоритме. Открой мешок. Ханойские башни. Посмотри мультфильм. Девиз урока. Подойти к переходу. Собери урожай. Циклические алгоритмы. Ладоши. Алгоритм действий человека. Алгоритм. Уборка квартиры. Графический диктант. Название фигуры.
Домик готов. Что такое Алгоритм. Основные цвета. Команда. Запись цикла в процедуре. Знание. Рисуем крышу. Изменение цвета пера. Рисуем стену. Рисуем. Цикл. Рисуем окна. Рисуем домик. Интерактивный учебник. Корректировка процедуры.
«Способы записи алгоритмов» - Пример алгоритма. Словесный способ записи алгоритмов. Часто употребляемые символы и их назначения. Что такое алгоритм. Алгоритмы целесообразно представлять в табличной форме. Формы представления алгоритмов. Псевдокод. Программный способ записи алгоритмов. Пример алгоритма на ШАЯ. Пример блок-схемы. Алгоритмы представляют в графической форме. Способы записи алгоритмов.
Задача 1 . Даны координаты вершин треугольника АВС: А(4; 3), В(16;-6), С(20; 16). Найти: 1) длину стороны АВ; 2) уравнения сторон АВ и ВС и их угловые коэффициенты; 3) угол В в радианах с точностью до двух знаков; 4) уравнение высоты СD и ее длину; 5) уравнение медианы AE и координаты точки К пересечения этой медианы с высотой CD; 6) уравнение прямой, проходящей через точку К параллельно стороне АВ; 7) координаты точки М, расположенной симметрично точке А относительно прямой СD.
Решение:
1. Расстояние d между точками A(x 1 ,y 1) и B(x 2 ,y 2) определяется по формуле
Применяя (1), находим длину стороны АВ:
2. Уравнение прямой, проходящей через точки A(x 1 ,y 1) и B(x 2 ,y 2) имеет вид
(2)
Подставляя в (2) координаты точек А и В, получим уравнение стороны АВ:
Решив последнее уравнение относительно у, находим уравнение стороны АВ в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом:
Подставив в (2) координаты точек В и С, получим уравнение прямой ВС:
3. Известно, что тангенс угла между двумя прямыми, угловые коэффициенты которых соответственно равны и вычисляется по формуле
(3)
Искомый угол В образован прямыми АВ и ВС, угловые коэффициенты которых найдены: Применяя (3), получим
Или рад.
4. Уравнение прямой, проходящей через данную точку в заданном направлении, имеет вид
(4)
Высота CD перпендикулярна стороне АВ. Чтобы найти угловой коэффициент высоты CD, воспользуемся условием перпендикулярности прямых. Так как то Подставив в (4) координаты точки С и найденный угловой коэффициент высоты, получим
Чтобы найти длину высоты CD, определим сначала координаты точки D- точки пересечения прямых АВ и CD. Решая совместно систему:
находим т.е. D(8;0).
По формуле (1) находим длину высоты CD:
5. Чтобы найти уравнение медианы АЕ, определим сначала координаты точки Е, которая является серединой стороны ВС, применяя формулы деления отрезка на две равные части:
(5)
Следовательно,
Подставив в (2) координаты точек А и Е, находим уравнение медианы:
Чтобы найти координаты точки пересечения высоты CD и медианы АЕ, решим совместно систему уравнений
Находим .
6. Так как искомая прямая параллельна стороне АВ, то ее угловой коэффициент будет равен угловому коэффициенту прямой АВ. Подставив в (4) координаты найденной точки К и угловой коэффициент получим
3x + 4y – 49 = 0 (KF)
7. Так как прямая АВ перпендикулярна прямой CD, то искомая точка М, расположенная симметрично точке А относительно прямой CD, лежит на прямой АВ. Кроме того, точка D является серединой отрезка AM. Применяя формулы (5), находим координаты искомой точки М:
Треугольник ABC, высота CD, медиана АЕ, прямая KF и точка М построены в системе координат хОу на рис. 1.
Задача 2. Составить уравнение геометрического места точек, отношение расстояний которых до данной точки А(4; 0) и до данной прямой х=1 равно 2.
Решение :
В системе координат хОу построим точку А(4;0) и прямую х = 1. Пусть М(х;у) – произвольная точка искомого геометрического места точек. Опустим перпендикуляр MB на данную прямую x = 1 и определим координаты точки В. Так как точка В лежит на заданной прямой, то ее абсцисса равна 1. Ордината точки В равна ординате точки М. Следовательно, В(1;у) (рис. 2).
По условию задачи |МА|: |МВ| = 2. Расстояния |МА| и |MB| находим по формуле (1) задачи 1:
Возведя в квадрат левую и правую части, получим
Полученное уравнение представляет собой гиперболу, у которой действительная полуось а = 2,а мнимая –
Определим фокусы гиперболы. Для гиперболы выполняется равенство Следовательно, и – фокусы гиперболы. Как видно, заданная точка А(4;0) является правым фокусом гиперболы.
Определим эксцентриситет полученной гиперболы:
Уравнения асимптот гиперболы имеют вид и . Следовательно, или и – асимптоты гиперболы. Прежде чем построить гиперболу, строим ее асимптоты.
Задача 3 . Составить уравнение геометрического места точек, равноудаленных от точки А(4; 3) и прямой у = 1. Полученное уравнение привести к простейшему виду.
Решение: Пусть М(х; у) - одна из точек искомого геометрического места точек. Опустим из точки М перпендикуляр MB на данную прямую у = 1 (рис. 3). Определим координаты точки В. Очевидно, что абсцисса точки В равна абсциссе точки М, а ордината точки В равна 1, т. е. В(х; 1). По условию задачи |МА|=|МВ|. Следовательно, для любой точки М(х;у), принадлежащей искомому геометрическому месту точек, справедливо равенство:
Полученное уравнение определяет параболу с вершиной в точке Чтобы уравнение параболы привести к простейшему виду, положим и y + 2 = Y тогда уравнение параболы принимает вид:
Чтобы построить найденную кривую, перенесем начало координат в точку О"(4;2), построим новую систему координат оси которой соответственно параллельны осям Ox и Oy и затем в этой новой системе построим параболу (*) (рис. 3).
Задача 4 . Составить каноническое уравнение гиперболы, фокусы которой расположены на оси абсцисс, если она проходит через точки A(-8;12) и B(12;8 ). Найти все точки пересечения этой гиперболы с окружностью с центром в начале координат, если эта окружность проходит через фокусы гиперболы.
Решение: Каноническое уравнение гиперболы имеет вид
По условию точки А и В лежат на гиперболе. Следовательно, координаты этих точек удовлетворяют уравнению (1). Подставив в уравнение (1) вместо текущих координат х (рис. 4).
Популярное
- Тату поцелуй мужская. Поцелуй тату. Значение тату для мужчин
- Безопасность пластиковых игрушек
- Спецобувь зимняя: мужская и женская, утепленная Сцепление с поверхностью
- Повышен белок в моче: возможные причины и лечение Количественные методы оценки
- Вяжем пинетки спицами: нарядные и повседневные модели, схемы с описанием и рекомендации
- Как проводится Всемирный День Сердца?
- Детский пуловер спицами с аппликацией кошка
- Это нужно знать: как получить путевку в детский сад -пошаговая инструкция для родителей
- Открытка бабушке на день рождения от внука или внучки
- Изготовление объёмных цифр и букв своими руками Сделать цифру 7 из пеленки